Il coefficiente balistico (BC) descrive la capacità di un proiettile di vincere la resistenza dell’aria. Dipende dalla sua forma, dalla massa e dall’area della sezione trasversale. Secondo un’opinione diffusa, un BC più elevato è sempre migliore. Chi accetta questa affermazione senza approfondire dovrebbe però ricordare che i valori pubblicati non raccontano necessariamente tutta la storia. Il BC fa parte di un metodo di calcolo sviluppato dall’italiano Francesco Siacci nel 1888: il concetto esiste dunque da allora.
Una nota riguardo l'impiego del sistema metrico ed imperiale (pollici, grani...) in questo articolo: troverete alcune volte la doppia notazzione in quanto la massa dei proiettili è comunemente espressa in grani, così come molte tabelle utilizzano i piedi al secondo (fps). Abbiamo pensato di farlo per dare un termine di paragone e per semplificare, ad esempio quando si raffrontano i dati qui esposti con l'etichetta delle munizioni o dei proiettili.
Al centro del metodo si trova la tabella che vedete qui accanto, e che descrive il moto di un ipotetico proiettile di riferimento con un BC di 1,0. Secondo la convenzione comunemente utilizzata negli Stati Uniti, questo proiettile pesa 453,6 grammi (1 libbra, ovvero 7.000 grani) e ha un diametro di 25,4 mm (1 pollice). Nel nostro esempio parte da 1.000 m/s (circa 3.281 fps), come indicato nella colonna di sinistra.
Nella riga successiva, la resistenza dell’aria lo ha rallentato a 999 m/s. La seconda colonna indica la distanza percorsa fino a quel momento, mentre la terza riporta il tempo di volo trascorso. Nell’ultima riga, quando la velocità è scesa a 100 m/s, il proiettile ha percorso 10.739,9 metri in 52,6051 secondi. La tabella di Siacci comprende altre colonne, che non sono però necessarie per comprendere il principio.
Il metodo di Siacci utilizza il BC come fattore di scala per ricavare i dati di volo di un altro proiettile a partire da quelli del proiettile di riferimento. Occorre chiarire una distinzione: la tabella non descrive una traiettoria reale, ma un moto orizzontale dal quale è esclusa la gravità. La resistenza dell’aria è l’unica forza che agisce sul proiettile di riferimento.
Come si determina il coefficiente balistico
Per determinare il BC dobbiamo conoscere la velocità di un proiettile in due punti della sua traiettoria. Supponiamo che la velocità alla volata sia di 710 m/s (circa 2.329 fps) e scenda a 641 m/s (2.103 fps) a 100 metri. Individuiamo quindi nella tabella le righe corrispondenti a queste due velocità, evidenziate in blu e in arancione.
Il proiettile di riferimento, partito a 1.000 m/s, raggiunge i 710 m/s dopo aver percorso 936,5 metri. Questo diventa il punto di partenza del nostro confronto. La riga relativa a 641 m/s indica una distanza di 1.191,8 metri. La differenza, pari a 255,3 metri ed evidenziata in verde, rappresenta la distanza percorsa dal proiettile di riferimento mentre rallenta da 710 a 641 m/s.
Il nostro proiettile reale perde la stessa quantità di velocità in soli 100 metri. Vince quindi la resistenza dell’aria meno efficacemente del proiettile di riferimento e il suo BC è inferiore a 1,0.
Dividendo la distanza reale per quella corrispondente nella tabella otteniamo il suo coefficiente balistico: 100 / 255,3 = 0,3917
Calcolare la velocità a un’altra distanza
Consideriamo una distanza di 200 metri. Poiché il proiettile di riferimento conserva la velocità meglio del nostro, la distanza corrispondente nella tabella deve essere superiore a 200 metri. Dividendo 200 per il nostro BC di 0,3917 otteniamo una distanza tabellare di 510,6 metri, evidenziata in verde. Sommiamo questo valore ai 936,5 metri del punto di partenza, ottenendo 1.447,1 metri. Questa è la distanza tabellare corrispondente ai 200 metri effettivamente percorsi dal nostro proiettile. Nella tabella non esiste una voce corrispondente esattamente a 1.447,1 metri. Il valore si colloca tra le righe di 1.445,8 e 1.449,9 metri, alle quali corrispondono rispettivamente velocità di 576 e 575 m/s. Interpolando tra questi valori otteniamo una velocità di 575,7 m/s (circa 1.889 fps) a 200 metri.
Calcolare il tempo di volo corrispondente
I tempi di volo riportati in queste due righe sono 1,9073 e 1,9143 secondi. Interpolando otteniamo 1,9095 secondi: è il tempo impiegato dal proiettile di riferimento per percorrere 1.447,1 metri dal punto di partenza originario.
Sottraiamo gli 1,1123 secondi necessari per raggiungere il punto iniziale del nostro confronto, ottenendo un intervallo di 0,7972 secondi. Per ricavare il tempo di volo del nostro proiettile, moltiplichiamo questo intervallo per il suo BC di 0,3917. Il risultato è di 0,3123 secondi per percorrere 200 metri.
Il nostro proiettile, partito a 710 m/s (circa 2.329 fps), conserva dunque una velocità di 575,7 m/s a 200 metri e raggiunge questa distanza in 0,3123 secondi. Per ottenere questi risultati bastano semplici operazioni aritmetiche. Si noti, inoltre, che per questo calcolo non sono necessari né il diametro né il peso del proiettile.
Comprendere la resistenza dell'aria
Se potessimo isolare e pesare un metro cubo d’aria, peserebbe circa 1,2 chilogrammi (2,6 libbre): all’incirca quanto una bottiglia di whisky o dodici tavolette di cioccolato da 100 grammi. Un oggetto che si muove nell’aria deve spostarne una parte, e per farlo occorre una forza. Possiamo percepire questo effetto tenendo la mano aperta contro il flusso d’aria fuori dal finestrino di un’auto in movimento.
Il flusso d’aria genera una pressione dinamica, che dipende dalla densità dell’aria e dal quadrato della velocità. Moltiplicando questa pressione per l’area esposta al flusso si ottiene una forza. Anche la forma dell’oggetto influisce sulla resistenza effettiva, come vedremo tra poco. Nell’esempio della mano aperta, a 50 km/h, ovvero 13,9 m/s, la forza risultante è di circa 2,3 newton.
Per comprendere meglio il newton (N), pensiamo a una tavoletta di cioccolato da 100 grammi. Appoggiata sulla mano, esercita una forza verso il basso quasi esattamente pari a 1 N. Una forza di 2,3 N corrisponde quindi al peso di circa 2,3 tavolette.
Passare da 50 a 100 km/h determina un aumento considerevole della resistenza. La pressione dinamica cresce con il quadrato della velocità: raddoppiando la velocità quadruplica, mentre aumentando la velocità di dieci volte si moltiplica per 100. A 100 km/h, la forza sulla mano aperta è quindi di 9,2 N, quattro volte il valore registrato a 50 km/h.
Chiudendo la mano a pugno si dimezza approssimativamente l’area esposta al flusso d’aria. Se consideriamo soltanto questa riduzione, la forza calcolata a 100 km/h si dimezza, scendendo a 4,6 N.
Come la forma influisce sulla resistenza aerodinamica
Se misurassimo la resistenza esercitata su quel pugno a 100 km/h, troveremmo una forza di circa 3,2 N, anziché i 4,6 N calcolati. La differenza dipende dalla forma, che influisce anche sul modo in cui l’aria scorre attorno a un oggetto.
Occorre quindi introdurre un altro fattore: il coefficiente di resistenza aerodinamica, generalmente indicato come C_D in inglese e c_w in tedesco; le illustrazioni originali provengono infatti da un manuale tedesco. Questo coefficiente esprime il rapporto tra la resistenza misurata e la forza calcolata a partire dalla pressione dinamica e dall’area frontale. Nel nostro esempio, la mano aperta ha un coefficiente di resistenza di 1,0, mentre il pugno presenta un valore di 0,7.
Moltiplicando la forza calcolata per il coefficiente di resistenza otteniamo la resistenza effettiva: 4,6 N × 0,7 = circa 3,2 N
Il coefficiente di resistenza aerodinamica non può essere ricavato con sufficiente affidabilità mediante un semplice calcolo: deve essere determinato attraverso prove in galleria del vento o misurazioni del proiettile in volo. Il radar viene utilizzato per seguire i proiettili da fucile fin dagli anni Sessanta, ma queste misurazioni richiedono un’elevata precisione. Secondo l’esperienza dell’autore, i radar economici destinati al mercato consumer non offrono ancora l’accuratezza necessaria per questo lavoro.
Il coefficiente di resistenza cambia con la velocità
I proiettili da fucile, o meglio da carabina, viaggiano a velocità elevate: per esempio, con una velocità alla volata di 900 m/s (circa 2.953 fps). Il modo in cui l’aria scorre attorno al proiettile cambia quando questo accelera o rallenta; il suo coefficiente di resistenza non rimane quindi costante.
La figura 1 mostra come il coefficiente di resistenza varia con la velocità, assumendo in questo caso valori compresi tra circa 0,2 e 0,66. Sono indicati anche i punti utilizzati nel nostro esempio con la tabella. Poiché il proiettile parte a velocità elevata e poi rallenta, seguiamo la curva nella direzione della freccia.
Si tratta della curva di resistenza G1, sulla quale si basano molti coefficienti balistici pubblicati. Sebbene il modello G1 sia arrivato ai tiratori europei attraverso l’uso statunitense, le sue origini risalgono al 1890 circa, presso il poligono sperimentale della Marina francese a Gâvre. È anche il modello di resistenza utilizzato nella tabella di Siacci di questo articolo.
Come stabilito dai ricercatori all’inizio del Novecento, queste variazioni del coefficiente di resistenza dipendono dalla velocità del proiettile in rapporto alla velocità del suono, anziché dalla sola velocità assoluta. Questo rapporto prende il nome di numero di Mach. Considerando una velocità del suono di circa 340 m/s (1.115 fps), un proiettile che viaggia a 710 m/s si muove a Mach 2,09.
Un proiettile più leggero rallenta più rapidamente
A parità di forza frenante, un’auto a pieno carico impiega più tempo a fermarsi rispetto a un’auto scarica. Lo stesso principio vale per i proiettili: a parità di resistenza aerodinamica, il proiettile più leggero decelera più rapidamente. Consideriamo un proiettile dal profilo aerodinamico di 7,62 mm (calibro .30), con una velocità alla volata di 950 m/s (circa 3.117 fps). A questa velocità incontra una resistenza di circa 7 N. Con una massa di 11,3 grammi (circa 174 grani), percorre 715 metri nel primo secondo. Un proiettile con la stessa forma e le stesse dimensioni, ma del peso di soli 9,45 grammi (circa 146 grani), percorre invece 680 metri. Il proiettile più leggero rallenta più rapidamente sotto l’azione della stessa forza resistente e ha quindi un BC inferiore. Il coefficiente balistico tiene dunque conto di due elementi: la resistenza aerodinamica che agisce sul proiettile e la sua inerzia, che si oppone alla decelerazione.
Le fonti di errore nei calcoli del coefficiente balistico
Per verificare il metodo utilizziamo le tabelle dei coefficienti di resistenza ricavate da misurazioni radar e pubblicate da Lapua tra il 2009 e il 2015. Il nostro esempio è il GB550, un proiettile di 7,62 mm del peso di 11,3 grammi (circa 174 grani). La figura 2 confronta la sua forma e la sua curva di resistenza con quelle del proiettile di riferimento G1. La sua resistenza è approssimativamente la metà di quella del G1, ma la differenza più importante è che le due curve hanno forme nettamente diverse.
Con una velocità alla volata misurata di 950 m/s e una velocità di 851,2 m/s a 100 metri, la tabella di Siacci attribuisce al GB550 un BC di 0,5171. Questo valore tiene conto del diametro e della massa del proiettile, oltre che di un fattore di forma, indicato con i. La figura 3 mostra la funzione di questo fattore: ridimensiona la curva di resistenza G1 per farla corrispondere alla resistenza misurata.
A Mach 2,7, il GB550 presenta un coefficiente di resistenza di 0,2688, contro lo 0,5261 del G1. Moltiplicando il valore G1 per 0,5109 lo si riduce fino al valore misurato. Questo moltiplicatore è il fattore di forma.
Il BC considera anche le differenze di peso e diametro tra il proiettile reale e quello di riferimento. Di conseguenza, il coefficiente balistico e il fattore di forma hanno generalmente valori numerici diversi: in questo caso, il BC è 0,5171 e i è 0,5109.
Il metodo presuppone che, applicando un fattore di forma alla curva G1, si possa riprodurre la curva di resistenza effettiva di un proiettile moderno. La figura 3 ne evidenzia il limite: anche dopo questo ridimensionamento, le due curve rimangono sostanzialmente diverse.
In questo esempio, il BC viene determinato attraverso misurazioni della velocità su una distanza breve, tra la volata e i 100 metri. Quando la velocità diminuisce oltre questo intervallo, la curva G1 ridimensionata si colloca sempre più al di sotto della curva di resistenza misurata del GB550. Il calcolo sottostima quindi la resistenza, introducendo un errore nella traiettoria prevista.
Consideriamo una traiettoria calcolata fino a 1.500 metri utilizzando il BC G1 di 0,5171. Il calcolo richiede 203 clic di elevazione rispetto all’azzeramento del cannocchiale a 100 metri. Utilizzando invece i dati di resistenza effettivi del GB550, ricavati dal radar, si ottengono 218 clic. Ogni clic corrisponde a 0,1 milliradianti, ovvero 1 cm a 100 metri.
Come mostra la figura 4, la previsione G1 porta i colpi circa 2,2 metri più in basso. In questo esempio nessuno raggiunge il bersaglio: i proiettili colpiscono il terreno circa 50 metri prima. Il cerchio indica la dispersione stimata a 1.500 metri. Identificato come D90, è il cerchio che dovrebbe contenere il 90 per cento dei colpi.
Il modello G7 produce errori inferiori al G1
Prima della Seconda guerra mondiale, ricercatori britannici sperimentarono forme di proiettile più moderne. Gli Stati Uniti ne adottarono due come G7 e G8. Il G8 è identico al G7, ma è privo della rastrematura posteriore, detta boat-tail.
La figura 5 mostra quanto il proiettile di riferimento G7 assomigli maggiormente a un moderno proiettile da fucile. Il suo fattore di forma di 1,0381 è solo leggermente superiore a 1 e, al di sopra di Mach 1, la sua curva di resistenza segue molto più fedelmente quella del GB550.
Il BC G7 del GB550 è 0,2545. A 1.500 metri, l’errore di traiettoria risultante è pari a circa un quarto di quello prodotto dal G1, come mostra la figura 6. Il valore numericamente inferiore del BC G7, pari a 0,2545, non indica quindi prestazioni peggiori rispetto al BC G1 di 0,5171. I coefficienti balistici basati su modelli di resistenza diversi non possono essere confrontati direttamente.
Le figure 7 e 8 mostrano i risultati corrispondenti per il .338 Lapua Magnum, calcolati utilizzando i dati radar del proiettile GB488 da 16,2 grammi (250 grani).
Per proiettili geometricamente simili, l’aumento del diametro comporta anche un incremento della massa in rapporto all’area frontale, conferendo al proiettile più grande una maggiore densità sezionale. Il proiettile conserva meglio la velocità e gli errori del modello di resistenza incidono meno sulla traiettoria calcolata.
Sebbene la velocità alla volata del .338 Lapua Magnum, pari a 900 m/s (circa 2.953 fps), sia inferiore a quella dell’esempio in .300 Winchester Magnum, i punti d’impatto previsti sono più vicini al centro del bersaglio. Anche la dispersione stimata a 1.500 metri è inferiore, perché il tempo di volo è più breve: 2,8 secondi anziché 3,1 secondi. Anche la deriva dovuta al vento risulterebbe ridotta.
Conclusioni: scegliere il modello di resistenza in funzione del proiettile e della distanza
Per i moderni proiettili da fucile dal profilo aerodinamico, i coefficienti balistici G7 forniscono risultati utili, pur senza essere perfetti. Negli esempi esaminati, il G1 offre previsioni ragionevolmente accurate sulle brevi distanze, ma i suoi limiti diventano sempre più evidenti all’aumentare della distanza di tiro.
La scelta del modello di riferimento conta più dell’entità del valore pubblicato. Un BC è significativo soltanto quando sappiamo a quale modello di resistenza si riferisce. Se un produttore pubblica un coefficiente balistico senza specificare se si tratta di G1 o G7, generalmente si può presumere che sia G1.
